Question

【题目】已知{an}是等差数列，满足a1=2，a4=14，数列{bn}满足b1=1，b4=6，且{an﹣bn}是等比数列． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若n∈N* ， 都有bn≤bk成立，求正整数k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则 ， ∴an=2+（n﹣1）×4=4n﹣2，
故{an}的通项公式为an=4n﹣2（n∈N*）．
设cn=an﹣bn ， 则{cn}为等比数列．
c1=a1﹣b1=2﹣1=1，c4=a4﹣b4=14﹣6=8，
设{cn}的公比为q，则 ，故q=2．
则 ，即 ．
∴ （n∈N*）．
故{bn}的通项公式为 （n∈N*）．
（Ⅱ）由题意，bk应为数列{bn}的最大项．
由 =4﹣2n﹣1（n∈N*）．
当n＜3时，bn+1﹣bn＞0，bn＜bn+1 ， 即b1＜b2＜b3；
当n=3时，bn+1﹣bn=0，即b3=b4；
当n＞3时，bn+1﹣bn＜0，bn＞bn+1 ， 即b4＞b5＞b6＞…
综上所述，数列{bn}中的最大项为b3和b4 ．
故存在k=3或4，使n∈N* ， 都有bn≤bk成立．
【解析】（Ⅰ）由已知求出数列{an}的通项公式，求出{an﹣bn}的首项和第四项，得到其公比，进一步求其通项公式，则{bn}的通项公式可求；（Ⅱ）由题意，bk应为数列{bn}的最大项．然后求出 ，再对n分类讨论求得满足bn≤bk成立的正整数k的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)，还要掌握等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)的相关知识才是答题的关键．