Question

（2012•包头一模）设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为

2 3

3

．
（I）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点C为（-a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为y=kx-4，且

CP

•

BE

=0，试求直线BE的方程．

Answer 1

分析：（I）由e2=

c2

a2

=

1

2

，得a=

2

b，由点A（a，0），B（0，-b），知直线AB的方程为

x

a

+

y

-b

=1，由此能求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）由A、B的坐标依次为（2，0）、（0，-

2

），直线PA经过点A（2，0），即得直线PA的方程为y=2x-4，因为

CP

•

BE

=0，所以kBE=-

1

kCP

，由此能求出直线BE的方程．

解答：解：（I）由e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

，
得a=

2

b，
由点A（a，0），B（0，-b），
知直线AB的方程为

x

a

+

y

-b

=1，
于是可得直线AB的方程为x-

2

y-

2

b=0，
因此

|0+0- 2 b|

12+( 2 )2

=

2 b

3

=

2 3

3

，
解得b=

2

，b²=2，a²=4，
∴椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由（I）知A、B的坐标依次为（2，0）、（0，-

2

），
∵直线PA经过点A（2，0），
∴0=2k-4，得k=2，
即得直线PA的方程为y=2x-4，
因为

CP

•

BE

=0，
所以k_CP•k_BE=-1，即kBE=-

1

kCP

，
设P的坐标为（x₀，y₀），
由

y=2x-4 x2+2y2-4=0

，得P（

14

9

，-

8

9

），
则kPC=-

1

4

，∴k_BE=4，
又点B的坐标为（0，-

2

），
因此直线BE的方程为y=4x-

2

．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．