Question

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g(x)=

k

x

-1，当关于x的方程f（x）=g（x）有且只有一个根时，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次不等式和一元二次函数之间的关系可得2，4是二次函数f（x）的两个零点故可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）而f（x）图象的对称轴为x=3∈[0，4]可得出f（x）在[0，4]上的单调性就可求出f（x）在[0，4]上的最大值然后再结合条件f（x）在[0，4]上的最大值是8即可求出a的值．
（2）由（1）可得f（x）=g（x）有且只有一个根即x³-6x²+9x-k=0（x≠0）只有一个根令F（x）=x³-6x²+9x（x∈R），y=k则问题转化为函数F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）与y=k
有且只有一个交点而解决此类问题的常用方法是根据导数判断出F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）的单调性再求出其极值就可作出其大致图象然后移动y=k使得函数F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）与y=k有且只有一个交点的k的取值范围即为所求．

解答：解：（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）图象的对称轴为x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x²-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x³-6x²+9x-k=0（x≠0）
设F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）
则F′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F'（x）＞0
  当x∈（1，3）时，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减
∴当x=1时，F（x）取得极大值4
  当x=3时，F（x）取得极小值0      
又∵F（0）=0
∴当方程x³-6x²+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4

点评：本题主要考察了一元二次函数解析式的求解和利用导数再结合数形结合的思想解方程．解题的关键是第一问需利用一元二次不等式和一元二次函数之间的关系可得2，4是二次函数f（x）的两个零点故可根据一元二次函数的两点式将f（x）设为f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0），而对于第二问的求解关键是关于x的方程f（x）=g（x）有且只有一个根转化为函数F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）与y=k有且只有一个交点（对于此类问题的求解常借助于导数判断单调性然后利用“数形结合”的思想求解）！