Question

1．设f（x）=1og_ax，g（x）=1og_bx，其中正数a，b互不相等且满足a（1-b²）+b（1-a²）=0和f（2）-g（2）=2．
（1）求a，b的值；
（2）记F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$），若函数y=F（x）在区间[m，n]上的值域为[1，1og₂14]，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a+b）（1-ab）=0，从而ab=1，由此能求出a=2，b=$\frac{1}{2}$．
（2）由F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）=log₂$\sqrt{{x}^{2}-2}$+$lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-2}$=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2）$，能求出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=1og_ax，g（x）=1og_bx，其中正数a，b互不相等且满足a（1-b²）+b（1-a²）=0，
∴a-ab²+b-a²b=（a+b）-ab（a+b）=（a+b）（1-ab）=0，
∴ab=1，
∵f（2）-g（2）=2，
∴$lo{g}_{a}2-lo{g}_{\frac{1}{a}}2$=log_a2+log_a2=2，
∴log_a2=1，解得a=2，∴b=$\frac{1}{2}$．
（2）∵F（x）=f（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）-g（$\sqrt{{x}^{2}-2}$）=log₂$\sqrt{{x}^{2}-2}$+$lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-2}$=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-2）$，
∴函数y=F（x）在区间（-∞，-$\sqrt{2}$）上单调递减，在区间（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，
∵函数y=F（x）在区间[m，n]上的值域为[1，1og₂14]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（m）=lo{g}_{2}（{m}^{2}-2）=1}\\{F（n）=lo{g}_{2}（{n}^{2}-2）=lo{g}_{2}14}\end{array}\right.$，解得m=2，n=4．
或$\left\{\begin{array}{l}{F（m）=lo{g}_{2}（{m}^{2}-2）=lo{g}_{2}14}\\{F（n）=lo{g}_{2}（{n}^{2}-2）=1}\end{array}\right.$，解得m=-4，n=-2．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．