Question

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
已知a为实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用求导数的公式和求导法则，可得f（x）的导数为f'（x）=

2x+1ln2

(2x+1)2

，所以在（-∞，+∞）上f'（x）恒为正数，从而得到对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）定义在R上的奇函数f（x）必有f（0）=0解得a=1，从而得到函数的表达式为f(x)=

1-2x

2x+1

．接下来求出函数f（x）的反函数为：f-1(x)=log2

1+x

1-x

，将方程f^-1（x）=log₂（x+t）变形为

1+x

1-x

=x+t，最后利用基本不等式求分式函数的最值，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的导数为f'（x）=-

-2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2

2x+1

=

1-2x

2x+1

，
令y=

1-2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函数f（x）的反函数为：f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

2

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
当且仅当1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

2

-2，+∞)．

点评：本题以含有指数形式的分式函数为例，求函数的单调性和参数的取值范围，着重考查了函数的单调性与奇偶性、反函数的求法等知识点，属于中档题．