Question

【题目】某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．
（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是
75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．

Answer 1

【答案】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y
由题设得，
第四组的频数是0.024×10×50=12
则x2=12y
又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，
y=3　
补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
=(45x0.012+55x0.016+65x0.03+75x0.024+95x0.006)=67.6
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210

【解析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．
（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的相关知识，掌握用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差．在随机抽样中，这种偏差是不可避免的．