Question

已知函数f（x）=m•log₂x+t的图象经过点A（4，1）、点B（16，3）及点C（S_n，n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（1）求S_n和a_n；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，b_n=f（a_n）-1，不等式T_n≤b_n的解集，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）将A（4，1）、B（16，3）两点坐标代入函数f（x）中求出m的值，然后将点C（S_n，n）坐标代入f（x）中，即可求得Sn的表达式，然后可以求出an的通项公式；
（2）根据（1）中求得的an的通项公式写出bn的通项公式，进而求得Tn的表达式，令T_n≤b_n即可求出满足条件的解集．

解答：解：（1）将A（4，1）、B（16，3）两点坐标代入函数f（x）得：

2m+t=1 4m+t=3

，
解得

m=1 t=-1

．        （1分）     
所以f（x）=log₂x-1．由条件得：n=log₂S_n-1．
得：S_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
当n=1时，a_n=S₁=4，
所以 an=

2n当n≥2，n∈N时 4当n=1时

．（2分）
（2）当n=1时，b₁=T₁=0，不等式成立．（1分）
当n≥2时，b_n=f（a_n）-1=n-2，
Tn=0+

(0+n-2)(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

．
∵Tn-bn=

n2-3n+2

2

-(n-2)=

n2-5n+6

2

=

(n-2)(n-3)

2

≤0，
解得：2≤n≤3．（3分）
∵n∈N⁺，∴n=2或3
所求不等式的解集为{1，2，3 }．

点评：本题主要考查了数列与函数、不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，是高考的热点问题，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．