Question

【题目】设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），

∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．

∴f（0）=0

（2）解：∵y=f（x）的定义域为R，

f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，

∴y=﹣x，得f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，

∴f（x）是奇函数

（3）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且当x＞0时，f（x）＞0．

f（x1）=f（x2）+f（x1﹣x2），令x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），所以函数单调递增，

∵f（x）+f（2+x）＜2，

∴ ，

∴x取值范围是（﹣∞，﹣ ）

【解析】（1）由函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．（2）由y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=﹣x，能推导出f（x）是奇函数．（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．