Question

14．（1）当x∈[3，7）时，求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）+1值域
（2）当x∈（0，2）时，求y=4^x-2^x+2值域．

Answer 1

分析 （1）由x的范围可以得出x+1的范围，根据对数函数$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}x$的单调性便可得出$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）$的范围，进一步便可得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）配方得到y=（2^x-2）²-4，由x的范围可以求出2^x的范围，而根据2^x的范围即可得出y的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）∵x∈[3，7]；
∴x+1∈[4，8]；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}4≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）≤lo{g}_{\frac{1}{2}}8$；
即$-3≤lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）≤-2$；
∴-2≤y≤-1；
∴该函数的值域为[-2，-1]；
（2）y=（2^x）²-4•2^x=（2^x-2）²-4；
∵x∈（0，2）；
∴2^x∈（1，4）；
∴（2-2）²-4≤y＜0；
即-4≤y＜0；
∴该函数的值域为[-4，0）．

点评 考查函数值域的概念及求法，根据不等式的性质求函数值域的方法，对数函数和指数函数的单调性，配方求二次式子的范围的方法．