Question

9、设a₁，a₂，…，a_2n+1均为整数，性质P为：对a₁，a₂，…，a_2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等当且仅当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P．

Answer 1

分析：先证 a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等时，性质P成立．
再证 当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P时，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等，用反证法，假设要证结论的反面成立，
推出与性质P相矛盾的结论，可得假设不成立．

解答：证明：①当a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，
故性质P成立．
②下面证明：当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P时，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．反证法：
假设a₁，a₂，…，a_2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a₁，
若a₁在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a₁在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，
这与性质P 矛盾，故假设不成立，
所以，当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P时，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等．
综上，a₁，a₂，…，a_2n+1全部相等当且仅当a₁，a₂，…，a_2n+1具有性质P．

点评：本题考查充要条件的定义，用反证法证明命题的方法和步骤．