Question

已知点A（x₀，

15

8

）在抛物线C：y²=5x的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则点F到直线AB的距离为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意先求出准线方程x₀=-

5

4

，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，进而求出点F到直线AB的距离．

解答： 解：∵点A（x₀，

15

8

）在抛物线C：y²=5x的准线上，
∴x₀=-

5

4

，
∴抛物线C：y²=5x，在第一象限的方程为y=

5

•

x

，
设切点B（m，n），则n=

5

•

m

，
又导数y′=

5

2 x

，则在切点处的斜率为

5

2 m

，
∴

5 • m - 15 8

m+ 5 4

=

5

2 m

解得

m

=

5

，
∴B（5，5），
∴直线AB的方程为x-2y+5=0，
∴点F到直线AB的距离为

| 5 4 +5|

5

=

5 5

4

，
故答案为：

5 5

4

．

点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．