Question

对于任意函数f(x),x∈D,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:

①输入数据x₀∈D,经数列发生器输出x₁=f(x₀)；

②若x₁D,则数列发生器结束工作；若x₁∈D,则将x₁反馈回输入端,再输出x₂=f(x₁),并依此规律继续下去.现在定义f(x)=.

(1)若输入x₀=,则由数列发生器产生数列{x_n}.请写出数列{x_n}的所有项.

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据x₀的值.

(3)若输入x₀时,产生的无穷数列{x_n}满足:对任意正整数n,均有x_n＜x_n+1,求x₀的取值范围.

Answer 1

解析：(1)∵f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),

∴ 数列x_n只有三项:x₁=,x₂=,x₃=-1 .

(2)∵f(x)==x,即x²-3x+2=0,∴x=1或x=2,即当x₀=1或2时,x_n+1==x_n.故当x₀=1时,x_n=1；当x₀=2时,x_n=2(n∈N^*).

(3)解不等式x＜,得x＜-1或1＜x＜2.要使x₁＜x₂,则x₁＜-1或1＜x₁＜2.

对于函数f(x)==4-,

若x₁＜-1,则x₂=f(x₁)＞4,x₃=f(x₂)＜x₂.

当1＜x₁＜2时,x₂=f(x₁)＞x₁,且1＜x₂＜2,依次类推可得数列{x_n}的所有项均满足x_n+1＞x_n(n∈N^*).

综上所述,x₁∈(1,2).由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).