Question

【题目】已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于直线l的方程是mx﹣y+1﹣m=0，即 y﹣1=m（x﹣1），经过定点H（1，1），

而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径 ，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，

故直线和圆恒有两个交点

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，

∴1﹣x1= （x2﹣1），化简的x2=3﹣2x1…①

又由直线代入圆的方程，消去y得：（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）

∴x1+x2= …②

由①②解得x1= 代入（*）式解得m=±1，

∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0

【解析】（1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．（2）把线段的长度比转化为两个向量的关系，由向量的坐标运算得到A，B两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x的方程得到关于m的方程，求解得到m的值，则直线方程可求．