【题目】已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AD=AB=CD=1,PD⊥平面ABCD,PD=
,E是PC的中点.
(1)证明:BE∥平面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据题意,找到PD的中点,连接EF,AF,根据平行四边形的证明方法可得线面平行。
(2)建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量,求两个平面的法向量即可得到两个平面的二面角大小。
(1)证明取PD的中点F,连接EF,AF,
∵E为PC中点,
∴EF∥CD,且EF=CD=1.
在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,
∴EF∥AB,EF=AB,四边形ABEF为平行四边形.
∴BE∥AF.∵BE平面PAD,AF平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(2)解分别以DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,可得B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),E
.
∴=(1,1,0),
.
设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,
则
取x=1,得y=-1,z=,n=(1,-1,
).
∵平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),
∴cos<m,n>=,可得<m,n>=45°.
因此,二面角E-BD-C的大小为45°.
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【题目】已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.
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【题目】设函数f (x)=(x+1)lnx﹣a (x﹣1)在x=e处的切线与y轴相交于点(0,2﹣e).
(1)求a的值;
(2)函数f (x)能否在x=1处取得极值?若能取得,求此极值;若不能,请说明理由.
(3)当1<x<2时,试比较 与
大小.
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【题目】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆
的一个“太极函数”,则下列有关说法中:
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数是圆
的一个太极函数;
③存在圆,使得
是圆
的一个太极函数;
④直线所对应的函数一定是圆
的太极函数;
⑤若函数是圆
的太极函数,则
所有正确的是__________.
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【题目】设f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m.
(1)求m;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.
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【题目】在△ABC中,内角A= ,P为△ABC的外心,若
=λ1
+2λ2
,其中λ1与λ2为实数,则λ1+λ2的最大值为( )
A.
B.1﹣
C.
D.1+
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【题目】已知函数f(x)=1﹣ax+lnx,(x>0),函数g(x)满足g(x)=x﹣1,(x∈R).
(1)若函数f(x)在x=1时存在极值,求a的值;
(2)在(1)的条件下,当x>1时,blnx< ,求实数b的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长.
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【题目】已知直线l、m,平面α、β,下列命题正确的是 ( )
A. l∥β,lαα∥β
B. l∥β,m∥β,lα,mαα∥β
C. l∥m,lα,mβα∥β
D. l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=Mα∥β
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