Question

【题目】已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点(与A，B不重合)．

(1)求曲线E的方程；

(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解：(1)设点P(x，y)，由题意可得，

＝，

整理可得＋y2＝1.

∴曲线E的方程是＋y2＝1.

(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|＝.

当m＝0时，不合题意．

当m≠0时，由直线l与圆x2＋y2＝1相切，可得＝1，即m2＋1＝n2.

联立消去y得x2＋2mnx＋n2－1＝0，

∴Δ＝4m2n2－4 (n2－1)＝2m2＞0，

则x1＝，x2＝，

∴S四边形ACBD＝|AB||x2－x1|＝＝≤，

当且仅当2|m|＝，即m＝±时等号成立，此时n＝±，经检验可知，直线y＝x－和直线y＝－x＋符合题意．