Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，先求平面AC₁D的一个法向量，再证明：即可；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小，只需求两平面的法向量的夹角即可．
解答：（Ⅰ）证明：以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，，，，，
设平面AC₁D的一个法向量为，
则由和，，
取x=1，y=-1，，所以法向量，
又，，
因为?平面AC₁D，所以BE∥平面AC₁D．
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC₁D的法向量为．
又平面A₁AD的法向量为，所以=，
由图可知，所求的二面角为锐角，所以二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量．