Question

3．已知数列{a_n}中，点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，且首项a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，请写出适合条件T_n≤S_n的所有n的值．

Answer 1

分析 （ I）由点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，且首项a₁=1．可得a_n+1-a_n=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（ II）数列{a_n}是的前n项和S_n=n²．等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，利用等比数列的求和公式可得{b_n}的前n项和T_n，代入T_n≤S_n，即可得出．

解答 解：（ I）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，且首项a₁=1．
∴a_n+1=a_n+2，∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（ II）数列{a_n}是的前n项和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，q=3．
∴b_n=3^n-1．
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
T_n≤S_n化为：$\frac{{3}^{n}-1}{2}$≤n²，又n∈N^*，所以n=1或2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与就计算能力，属于中档题．