Question

1．已知圆C与y轴相切，圆心在直线2x-y=0上，且直线x-y=0被圆C截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知两定点A（0，1），B（0，-1），P为圆C上的动点，求|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由题意可得r=|a|，2a-b=0，①再由点到直线的距离公式和弦长公式，可得2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{（a-b）^{2}}{2}}$，②，解方程即可得到所求圆的方程；
（2）运用圆的参数方程，可设P（2+2cosα，4+2sinα）（0≤α＜2π），结合三角函数的化简和正弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设圆C的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题意可得r=|a|，2a-b=0，①
圆心到直线x-y=0的距离为d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，
即有2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{（a-b）^{2}}{2}}$，②
由①②解得a=2，b=4，r=2或a=-2，b=-4，r=2，
则圆的标准方程为（x-2）²+（y-4）²=4，
或（x+2）²+（y+4）²=4；
（2）由圆（x-2）²+（y-4）²=4，可设P（2+2cosα，4+2sinα）（0≤α＜2π），
可得|PA|²+|PB|²=（2+2cosα）²+（3+2sinα）²+（2+2cosα）²+（5+2sinα）²
=50+16cosα+32sinα=50+16$\sqrt{5}$sin（α+θ），
当sin（α+θ）=1时，取得最大值50+16$\sqrt{5}$；
当sin（α+θ）=-1时，取得最大值50-16$\sqrt{5}$．
当圆的方程为（x+2）²+（y+4）²=4，同理可得．
即有|PA|²+|PB|²的取值范围是[50-16$\sqrt{5}$，50+16$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查圆的参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．