Question

已知直线l₁：5x+2y-3=0和l₂：3x-5y-8=0的交点为P，求：
（1）过点P且与直线x+4y-7=0平行的直线l的方程；
（2）过点P且与直线x+4y-7=0垂直的直线l'的方程．

Answer 1

解：（1）方法一：由得 ，即点P（1，-1）…（3分）
∵直线x+4y-7=0的斜率为
∴所求直线l的斜率为…（5分）
∴直线l的方程为，
即x+4y+3=0…（7分）
方法二：因为所求直线l与直线x+4y-7=0平行，
故可设所求的直线l方程为x+4y+m=0…（2分）
由得 ，即点P（1，-1）…（5分）
将x=1，y=-1代入方程x+4y+m=0，得1-4+m=0，∴m=3…（6分）
∴直线l的方程为x+4y+3=0…（7分）
（2）方法一：由（1）得点P（1，-1）
∵直线x+4y-7=0的斜率为
∴所求直线l'的斜率为4 …（11分）
∴直线l'的方程为y+1=4（x-1），即4x-y-5=0…（14分）
方法二：由直线l'垂直于直线x+4y-7=0，
则可设直线l'的方程为4x-y+t=0…（10分）
∵l₁与l₂的交点为P（1，-1）
∴4×1-（-1）+t=0，得t=-5…（12分）
∴直线l'的方程为4x-y-5=0…（14分）
分析：（1）方法一：先联立方程，求出交点坐标，再利用平行，确定直线l的斜率，从而可求直线l的方程；
方法二：利用与已知直线平行时，斜率相等，假设方程，再将交点坐标代入，即可求得直线l的方程；
（2）方法一：先联立方程，求出交点坐标，再利用垂直，确定直线l的斜率，从而可求直线l′的方程；
方法二：利用与已知直线垂直时，斜率互为负倒数，假设方程，再将交点坐标代入，即可求得直线l′的方程．
点评：本题重点考查直线方程的求解，考查两条直线平行于与垂直的位置关系，两种方法并举，注意细细体会．