Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0＜x1＜x2 ， 使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设 ，cn= ，{cn}的前n项和为Tn ， 若Tn＞2n+t对任意n∈N，n≥2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得△=a2﹣4a=0，

解得a=0或a=4．

当a=0时，f（x）=x2在（0，+∞）上单调递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；

当a=4时，f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上单调递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

综上，f（x）=x2﹣4x+4

（2）

解：由（1）知： ．

当n=1时，a1=S1=1．

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣4n+4）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]=2n﹣5．

∴an=

（3）

解：∵ = ，∴b1=27，b2=9， ，

∴当n≥2时， = ，

∴当n≥2时， ，

Tn＞2n+t对n∈N，n≥2恒成立等价于t＜ 对n∈N，n≥2恒成立，

而 是关于n的增函数，∴当n=2时，（Tn）min=16，

∴实数t的取值范围是t＜16

【解析】（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素得△=0，解得a=0或a=4．对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（2）由（1）知： ．当n=1时，a1=S1 ． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 即可得出．（3）由（2）及其已知可得bn ， cn ， Tn ， 再利用数列的单调性即可得出．