Question

（2012•河南模拟）如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P．过点A作直线交圆O于点Q，交圆B于点M、N．
（1）求证：QM=QN；
（2）设圆O的半径为2，圆B的半径为1，当AM=

10

3

时，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）连接BM、BN、BQ、BP，利用垂径定理，即可得到结论；
（2）确定AP为圆B的切线，可得AP²=AM•AN，求出AP的长，结合AM=

10

3

，可求MN的长．

解答：（1）证明：连接BM、BN、BQ、BP
∵B为小圆的圆心
∴BM=BN
∵AB为大圆的直径
∴BQ⊥MN
∴MQ=QN
（2）解：∵AB为大圆的直径
∴∠APB=90°
∴AP为圆B的切线，∴AP²=AM•AN
∵AB=4，PB=1
∴AP²=AB²-PB²=15
∵AM=

10

3

，∴15=

10

3

×(

10

3

+MN)
∴MN=

7

6

点评：本题考查圆的性质，考查垂径定理的运用，属于基础题．