Question

2．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．

Answer 1

分析 取BC的中点N，连接AN交EF于点M，连接A′M，可证A′M⊥BM，由已知可得AM=MN=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$=A′M，在Rt△MNB中，利用勾股定理可求MB，进而在Rt△A′MB中，利用勾股定理可求A′B的值．

解答 解：取BC的中点N，连接AN交EF于点M，连接A′M，
则A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BCFE，
∴A′M⊥平面BCFE，
∴A′M⊥BM，
∵AM=MN=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
∴A′M=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
在Rt△MNB中，MB=$\sqrt{M{N}^{2}+N{B}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{16}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}a}{4}$，
在Rt△A′MB中，A′B=$\sqrt{A′{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{16}+\frac{7{a}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判断，考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．