Question

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组：

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域的面积是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于-1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．

解答：解：因为M与N关于x+y=0对称，
直线y=kx+1与直线x+y=0垂直得到k=1，
所以直线MN的方程为y=x+1；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立直线与圆的方程得

y=x+1 x2+y2+x+my-4=0

，
消去y得2x²+（3+m）x+m-3=0则x₁+x₂=-

m+3

2

；
由MN中点在直线x+y=0上，代入得

x1+x2

2

+

y1+y2

2

=0即x₁+x₂+y₁+y₂=0，
又MN的中点在y=x+1上，得y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，所以x₁+x₂=-1，
则-

m+3

2

=-1，解得m=-1；
所以把k=1，m=-1代入不等式组得

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

，
画出不等式所表示的平面区域如图
△AOB为不等式所表示的平面区域，联立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故选A

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用韦达定理及中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．