Question

【题目】设a，b∈R，函数 ，g（x）=ex（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex，

由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1

（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，

当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，

当a2＞1时， ，此时

若 ，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；

若 ，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；

若 时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．

（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，则u'（x）=ex﹣2．

当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，

令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得 ．

先考虑 的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；

又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；

故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；

又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，

从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；

又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．

接下来考虑 的情况，此时，h'（0）＜0，

令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．

由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，

当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，

又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．

从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；

又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．

综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是

【解析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=ex﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出 ．考虑 的情况， 的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．