【题目】已知函数在
单调递增,其中
.
(1)求的值;
(2)若,当
时,试比较
与
的大小关系(其中
是
的导函数),请写出详细的推理过程;
(3)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)略 (3)
【解析】试题分析:函数在某区间上单调递增,只需函数的导数大于零在此区间上恒成立,利用恒成立极值原理求出满足的条件,求出
的值;第二步比较大小可以转化为研究函数
的单调性和极值问题去解决,第三步可以利用作差法构造函数,通过利用导数研究函数单调性和极值,达到证明不等式的目的.
试题解析:
(1)∵在
单调递增,
∴
在
上恒成立,即
(
)恒成立,
∵当时,
,
∴,又
,∴
,
∴,∴
.
(2)由(1)可知,
∴,∴
,
∴,
令,
,
∴,
,
∴在
上单调递增,∴
,
令,则
在
单调递减,
∵,
,
∴,使得
在
单调递增,在
单调递减,
∵,
,
∴,
∴,
又两个函数的最小值不同时取得,
∴,即
.
(3)∵恒成立,即
恒成立,
令,则
,
由(1)得,即
(
),∴
(
),
即(
),∴
,
∴,
当时,∵
,∴
,
∴单调递减,∴
,符合题意;
当时,
在
上单调递增,
∴,
∴单调递增,∴
符合题意,
当时,
,∴
在
上单调递增,
又,且
,
,
∴在
存在唯一零点
,
在
单调递减,在
单调递增,
∴当时,
,
∴在
单调递减,∴
,不合题意.
综上, .
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【题目】已知不交于同一点的三条直线l1:4x+y﹣4=0,l2:mx+y=0,l3:x﹣my﹣4=0
(1)当这三条直线不能围成三角形时,求实数m的值.
(2)当l3与l1 , l2都垂直时,求两垂足间的距离.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD;
(2)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)= +log2x.
(1)求f(2),f( ),f(4),f(
)的值,并计算f(2)+f(
),f(4)+f(
);
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f( )+f(
)+…f(
)的值.
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【题目】函数y=f(x)图象上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)处的切线的斜率分别是kA , kB , 规定φ(A,B)= 叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题: 1)函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1,2,则φ(A,B)>
;
2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
3)设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
4)设曲线y=ex上不同两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,1);
以上正确命题的序号为(写出所有正确的)
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【题目】设点是
轴上的一个定点,其横坐标为
(
),已知当
时,动圆
过点
且与直线
相切,记动圆
的圆心
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)当时,若直线
与曲线
相切于点
(
),且
与以定点
为圆心的动圆
也相切,当动圆
的面积最小时,证明:
、
两点的横坐标之差为定值.
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【题目】下列四个命题:
(1)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0时也是增函数,所以f(x)是增函数;
(2)若m=loga2,n=logb2且m>n,则a<b;
(3)函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是a≤﹣3;
(4)y=log (x2+x﹣2)的减区间为(1,+∞).
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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