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11.点P是双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)在第一象限的某点,F1、F2为双曲线的焦点.若P在以F1F2为直径的圆上且满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为(  )
A.$\sqrt{5}$B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.$\frac{\sqrt{10}}{4}$D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$

分析 根据双曲线的定义结合圆的性质可知PF1⊥PF2,由已知结合双曲线的定义求得|PF1|,|PF2|,再由勾股定理得答案.

解答 解:如图,∵P在以F1F2为直径的圆上,
∴F1F2为圆的直径,则PF1⊥PF2
∵|PF1|=3|PF2|,
∴由$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2a}\\{|P{F}_{1}|=3|P{F}_{2}|}\end{array}\right.$,
解得|PF1|=3a,|PF2|=a,
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=9{a}^{2}+{a}^{2}=4{c}^{2}$,
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{10}{4}$,得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$.
故选:D.

点评 本题考查双曲线的简单性质,考查了双曲线定义的应用,根据圆的性质得到PF1⊥PF2是解决本题的关键.考查数形结合的解题思想方法,是中档题.

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