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(2009江西卷文)(本小题满分12分)

如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面.以的中点为球心、为直径的球面交于点

(1)求证:平面⊥平面

(2)求直线与平面所成的角;

(3)求点到平面的距离.

解:方法(一):

(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.

因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,

所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,

由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,

所以  就是与平面所成的角,

            

所求角为

(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在Rt△PAD中,,所以中点,,则O点到平面ABM的距离等于

方法二:

(1)同方法一;

(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则

设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则

所求角的大小为.           

(3)设所求距离为,由,得:

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