(2009江西卷文)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角;
(3)求点到平面的距离.
解:方法(一):
(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,
由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,
所以 就是与平面所成的角,
且
所求角为
(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,,
设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,
所求角的大小为.
(3)设所求距离为,由,得:
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