Question

【题目】已知函数f（x）= 图象过点（﹣1，2），且在该点处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

【答案】
（1）解：当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，则f′（x）=﹣3x2+2x+b，

由题意知 ，解得b=c=0

（2）解：假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，

使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，

则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），

则q（﹣t，t3+t2），且t≠1．

因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以 =0，

即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0，（1）

是否存在点P，Q等价于方程（1）是否有解，

若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入方程（1）得：t4﹣t2+1=0，此方程无实数解．

若t＞1，则f（t）=alnt，代入方程（1）得到 =（t+1）lnt，

设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx+ ＞0在[1，+∞）上恒成立，

所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，

所以当a＞0时，方程 =（t+1）lnt有解，即方程（1）有解，

所以对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，

使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上

【解析】（1）求得x＜1时f（x）的导数，可得切线的斜率，由f（﹣1）=2，解方程可得b，c的值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则q（﹣t，t3+t2），且t≠1．对t讨论，t＞1，0＜t＜1，通过构造函数，求得单调性，考虑方程﹣t2+f（t）（t3+t2）=0有解，即可判断存在性．