【题目】已知直线(
).
(1)证明:直线过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求的取值范围;
(3)若直线轴负半轴于
,交
轴正半轴于
,△
的面积为
(
为坐标原点),求
的最小值,并求此时直线
的方程.
【答案】(1)无论k取何值,直线过定点(-2,1);(2);(3)△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为
x-y+1+1=0.
【解析】【试题分析】(1)将直线方程变形为含参数的项与 不含参数
的项,借助条件
建立方程组,即可求出定点坐标;(2)借助(1)的结论,并数形结合建立关于
的不等式组求解;(3)先求出两点
的坐标,再建立△
的面积
关于斜率
的函数,运用基本不等式求最小值,并借助函数取得最小值时的条件求出直线的方程:
(1)证明:由已知得: k(x+2)+(1-y)=0,
令 x+2=0 且 1-y=0,得: x=-2, y=1
∴无论k取何值,直线过定点(-2,1)
(2)直线方程可化为,
当时,要使直线不经过第四象限,则
,解得
;
当时,直线为
,符合题意.
综上:的取值范围是
。
(3)令y=0得:A点坐标为,令x=0得:B点坐标为(0,2k+1)(k>0),
∴S△AOB=|2k+1|=
(2k+1)=
≥
(4+4)=4
当且仅当4k=,即k=
时取等号.
即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为x-y+1+1=0,
即 x-2y+4=0.
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【题目】已知函数的导函数为
,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若对满足的一切
的值,都有
,求实数
的取值范围;
(3)若对一切
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数,
(1)当时,证明:函数
不是奇函数;
(2)判断函数的单调性,并利用函数单调性的定义给出证明;
(3)若是奇函数,且
在
时恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
也为抛物线
的焦点,过点
的直线
交抛物线
于
两点.
(Ⅰ)若点满足
,求直线
的方程;
(Ⅱ)为直线
上任意一点,过点
作
的垂线交椭圆
于
两点,求
的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
为平面上的动点,且过点
作
的垂线,垂足为
,满足:
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)在轨迹上求一点
,使得
到直线
的距离最短,并求出最短距离.
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【题目】已知抛物线C的标准方程是
(Ⅰ)求它的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)直线过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°,且与抛物线的交点为A、B,求线段AB的长度.
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【题目】某公司生产一批产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元,该公司通过设备升级,生产这批
产品所需原材料减少了
吨,且每吨原材料创造的利润提高
;若将少用的
吨原材料全部用于生产公司新开发的
产品,每吨原材料创造的利润为
万元
.
(1)若设备升级后生产这批产品的利润不低于原来生产该批
产品的利润,求
的取值范围;
(2)若生产这批产品的利润始终不高于设备升级后生产这批
产品的利润,求
的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线
(1)化的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点P对应的参数为
,Q为
上的动点,求PQ的中点M到直线
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