Question

2．已知cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$$＜x＜\frac{7π}{4}$．
（Ⅰ）求sin2x的值．
（Ⅱ）求tanx的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由诱导公式可求cos2（$\frac{π}{4}$+x）=-sin2x，又利用二倍角公式可得cos2（$\frac{π}{4}$+x）=2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-1=-$\frac{7}{25}$，即可解得sin2x的值．
（Ⅱ）由已知可求范围$\frac{5π}{3}＜x+\frac{π}{4}＜2π$，利用同角三角函数关系式可求sin（$\frac{π}{4}$+x），可得tan（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{sin（\frac{π}{4}+x）}{cos（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$=-$\frac{4}{3}$，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵cos2（$\frac{π}{4}$+x）=cos（$\frac{π}{2}$+2x）=-sin2x，
又cos2（$\frac{π}{4}$+x）=2cos²（$\frac{π}{4}$+x）-1=2×$\frac{9}{25}-1$=-$\frac{7}{25}$．
∴sin2x=$\frac{7}{25}$．
（Ⅱ）∵$\frac{17π}{12}$$＜x＜\frac{7π}{4}$．
∴$\frac{5π}{3}＜x+\frac{π}{4}＜2π$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+x）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{sin（\frac{π}{4}+x）}{cos（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$=-$\frac{4}{3}$，
∴tanx=7．

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．