Question

已知函数f（x）=x+

m

x

有如下性质：如果常数m＞0，那么该函数在（0，

m

]上是减函数，在[

m

，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数f（x）=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求实数b的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）设常数c∈[1，4]，求函数h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）函数y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，则2^b=16，可求实数b的值；
（Ⅱ）分类讨论，确定合适的单调性，即可求函数g（x）=x+

2

x

在x∈[a，a+1]（a＞0）上的最小值；
（Ⅲ）设常数c∈[1，4]，h（1）-h（2）=

c-2

2

，分类讨论求函数h（x）=x+

c

x

（1≤x≤2）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，
∴2^b=16，则b=4；┅┅┅┅（2分）
（Ⅱ）y=x+

2

x

在区间(0，

2

]递减，在[

2

，+∞)递增，┅┅┅┅（3分）
∴0＜a≤

2

-1时，y_min=

a2+2a+3

a+1

；

2

-1＜a≤

2

时，y_min=2

2

；

2

＜a时，y_min=a+

2

a

；，┅┅┅┅（7分）
（Ⅲ）∵c∈[1，4]，∴

c

∈[1，2]，∵h（1）-h（2）=

c-2

2

，┅┅┅┅（8分）
当1≤c＜2时，函数f（x）的最大值是h（2）=2+

c

2

；┅┅┅┅（10分）
当c=2时，函数f（x）的最大值是h（1）=f（2）=3；┅┅┅┅（11分）
当2＜c≤4时，函数f（x）的最大值是h（1）=1+c┅┅┅┅（12分）

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．