Question

18．已知a，b∈R，a≠0，曲线y=$\frac{a+2}{x}$，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a²+b²的最小值为$\frac{1}{100}$．

Answer 1

分析 由题意两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，得到$\frac{a+2}{x}$=x+2b+1有解，转化为关于a，b的直线方程（x²-1）a+2bx+x-2=0，得到a²+b²表示原点到直线的距离的平方，转化为a²+b²=d²=（$\frac{x-2}{{x}^{2}+1}$）²，巧换元，构造函数，利用函数的单调性质，求出最值．

解答 解：∵曲线y=$\frac{a+2}{x}$，y=ax+2b+1，
∴$\frac{a+2}{x}$=ax+2b+1，
∴a+2=ax²+2bx+x，
∴（x²-1）a+2bx+x-2=0，
于是可以看作关于a，b的直线方程，则（a，b）是该直线上的点，
则a²+b²表示原点到直线的距离的平方，
设原点到直线的距离为d，根据到点直线的距离公式得到
d=$\frac{|x-2|}{{{（x}^{2}+1）}^{2}+{4x}^{2}}$，
∴a²+b²=d²=$\frac{{（x-2）}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=（ ${（\frac{x-2}{{x}^{2}+1}）}^{2}$，
令t=x-2，x∈[3，4]，则t∈[1，2]，则x=t+2，
∴a²+b²=d²=（$\frac{t}{{（t+2）}^{2}+1}$）²=（${（\frac{t}{{t}^{2}+4t+5}）}^{2}$=（ $\frac{1}{t+\frac{5}{t}+4}$）²，
设f（t）=t+$\frac{5}{t}$+4，t∈[1，2]，
∴f′（t）=1-$\frac{5}{{t}^{2}}$＜0在∈[1，2]恒成立，
∴函数f（t）在∈[1，2]为减函数，
∴当t=1时，f（t）_max=f（1）=1+5+4=10，
∴当t=1时，a²+b²最小值为$\frac{1}{100}$．
故答案为：$\frac{1}{100}$．

点评 本题考查二次函数的性质、函数的单调性及不等式知识，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，能力要求较高．