Question

已知向量

p

=（sinA，cosA），

q

=（cosB，sinB），且

p

•

q

=sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求解C的大小；
（2）已知A=75°，c=

3

（cm），求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用

p

•

q

=sin2C，可得sinC=sin2C，从而求解C的大小；
（2）由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

csinB

sinC

=

2

(cm)，再利用三角形的面积公式，即可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）由题设，有sinAcosB+cosAsinB=sin2C，即sin（A+B）=sin2C，即sinC=sin2C，
从而cosC=

1

2

，所以C=60°．
（2）因为A=75°，C=60°，所以B=180°-75°-60°=45°，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

csinB

sinC

=

2

(cm)．
从而，S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

2

×

3

sin(30°+45°)=

3+ 3

4

(cm2)．

点评：本题考查平面向量的数量积公式，考查正弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．