Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b²+c²=a²+bc，求：
（Ⅰ）A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；
（Ⅱ）将a的值代入已知等式，变形后利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（II）∵a=2，∴b²+c²=4+bc，
又b²+c²≥2bc，
∴4+bc≥2bc，
∴bc≤4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，当且仅当b=c=2时取“=”，
则△ABC面积的最大值为

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．