Question

甲、乙两人进行5次比赛，如果甲或乙无论谁胜了3次，则宣告比赛结束．假定甲获胜的概率是

2

3

，乙获胜的概率是

1

3

，试求：
（1）比赛以甲3胜1败而宣告结束的概率；
（2）比赛以乙3胜2败而宣告结束的概率；
（3）设甲先胜3次的概率为a，乙先胜3次的概率为b，求a：b．

Answer 1

分析：（1）以甲3胜1负而结束比赛，则甲第4次必胜而前3次必有1次为败，故所求概率为 P=

C

1 3

•（1-

2

3

）(

2

3

)3，运算求得结果．
（2）以乙3胜2负而结束比赛，则乙第5次必胜而前4次必有2次败，故所求概率为 P′=

C

2 4

•(1-

1

3

)2 (

1

3

)3，运算求得结果．
（3）甲先胜3次的情况有3种：3胜无败、3胜1败、3胜2败，其概率分别为

8

27

，

8

27

，

16

81

．求得 a=

8

27

+

8

27

+

16

81

的值，可得 b-1的值，从而求得a：b 的值．

解答：解：（1）以甲3胜1负而结束比赛，则甲第4次必胜而前3次必有1次为败．
∴所求概率为 P=

C

1 3

•（1-

2

3

）(

2

3

)3=

8

27

．（4分）
（2）以乙3胜2负而结束比赛，则乙第5次必胜而前4次必有2次败．
∴所求概率为 P′=

C

2 4

•(1-

1

3

)2 (

1

3

)3=

8

81

 （9分）
（3）甲先胜3次的情况有3种：3胜无败、3胜1败、3胜2败，其概率分别为

8

27

，

8

27

，

16

81

．
∴a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

，从而 b-1=1-

64

81

=

17

81

，
故 a：b=64：17．（13分）

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了分类
讨论的数学思想，属于中档题．