Question

已知α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(0，π)，则方程组

3 cos(-α)=- 2 cos(π+β) sin(3π-α)= 2 cos( π 2 -β)

的解是：

α=

π

4

，β=

π

6

．

Answer 1

分析：分别利用诱导公式及余弦函数的奇偶性化简方程组，表示出cosα，根据同角三角函数间的基本关系sin²α+cos²α=1，将sinα和cosα代入，并利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于sinβ的方程，求出方程的解得到sinβ的值，进而得到sinα的值，由α和β的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α和β的度数．

解答：解：把方程组化简得：

3 cosα= 2 cosβ① sinα= 2 sinβ②

，
由①得：cosα=

2 cosβ

3

③，
将②和③代入sin²α+cos²α=1得：（

2

sinβ）²+（

2 cosβ

3

）²=1，
整理得：2sin²β+

2cos2β

3

=1，即2sin²β+

2

3

（1-sin²β）=1，
解得：sinβ=

1

2

或sinβ=-

1

2

（舍去），
∴sinα=

2

2

，
又α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(0，π)，
∴α=

π

4

，β=

π

6

或α=

π

4

，β=

5π

6

（不合题意，舍去）．
则α=

π

4

，β=

π

6

．
故答案为：α=

π

4

，β=

π

6

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，涉及的知识有：诱导公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的奇偶性，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围．