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    【题目】如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.

    （1）证明：；

    （2）若二面角的大小为60°，求的大小.

    【答案】（1）证明见解析（2）

    【解析】

    (1)以的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出和的坐标，证明即可；

    (2)算出平面的一个法向量，利用二面角的大小为60°求出C的坐标即可.

    （1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

    由题意知

    设点C的坐标为，

    因为，

    所以

    因为点M为的中点，故

    又点P为的中点，故

    所以，

    所以.

    （2）解：设为平面的一个法向量

    由，

    知

    取，得.

    又平面的一个法向量为，于是

    即.①

    又，所以，

    故

    即.②

    联立①②，解得（舍去）或.

    所以.

    又是锐角，所以.

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    D.已知二面角的平面角为120°，P是l上一定点，则一定存在过点P的平面，使与，与所成锐二面角都为60°

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    【题目】某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：

    学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.

    （Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大？

    （Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.

    附：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    【题目】已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求的最大值.

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    【题目】已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班60人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

    喜好体育运动

    不喜好体育运动

    合计

    男生

    5

    女生

    10

    合计

    60

    已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为12的样本，则抽到喜好体育运动的人数为7.

    （1）请将上面的列联表补充完整；

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；

    下面的临界值表供参考：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （参考公式：，其中）

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，判断函数的单调性；

    （2）若恒成立，求的取值范围；

    （3）已知，证明.

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