Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos²θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（2）将

x=tcosα y=1+tsinα

代入曲线C的标准方程：x²=4y得：t²cos²α-4tsinα-4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．

解答：解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx-cosαy+cosα=0．
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，
曲线C的标准方程：x²=4y．
（2）将

x=tcosα y=1+tsinα

代入曲线C的标准方程：x²=4y得：
t²cos²α-4tsinα-4=0，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

( 4sinα cos2α )2-4× -4 cos2α

=8，
∴cosα=±

2

2

．
∴α=

π

4

或

3π

4

．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．