Question

已知圆方程x²+y²-2ax-4ay+5a²-4=0（a∈R）．
（1）求圆的半径，圆心坐标并求出圆心坐标所满足的直线方程；
（2）试问：是否存在直线l，使对任意a∈R，直线l被圆截得的弦长均为2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得圆的标准方程为（x-a）²+（y-2a）²=4，即可得到半径与圆心坐标，进而得到圆心所在的直线方程．
（2）根据题意可得：所求直线必须平行于直线y=2x，所以设所求直线的方程为y=2x+b，再根据半弦长、半径与弦心距的关系为(

AB

2

)2+d2=r2，可得圆心到直线的距离，进而结合点到直线的距离公式计算出b的数值，得到答案．

解答：解：（1）根据题意可得圆的方程为（x-a）²+（y-2a）²=4，
所以半径为2，圆心坐标为（a，2a），
所以圆心坐标满足的直线方程为y=2x．
（2）因为圆心在直线y=2x上，并且对任意a∈R，直线l被圆截得的弦长均为2，
所以所求直线必须平行于直线y=2x，
所以设所求直线的方程为y=2x+b，
因为该直线被圆截得的弦长均为2，并且半弦长、半径与弦心距的关系为(

AB

2

)2+d2=r2，
所以d=

3

，
所以圆心（a，2a）到该直线的距离为

3

，则

|2a-2a+b|

5

=

3

，
解的b=±

15

，
所以直线方程为y=2x±

15

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，而当直线与圆相交时半弦长、半径与弦心距的关系(

AB

2

)2+d2=r2是解题的关键．