Question

【题目】已知函数，.

（1）若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；

（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由，列方程求解即可；

（2）由题意知方程在上有实根，设，求函数导数，讨论函数的单调性列不等式求解即可.

(1) 若,则,所以,

因为的图象在处的切线l过原点,

所以直线l的斜率 ,即 ,

整理得，因为，所以，，

所以直线l的方程为.

(2)函数在上有零点,即方程在上有实根，

即方程在上有实根.

设,则,

①当，即时,,在上单调递增,

若在上有实根，则，即，所以.

②当,即时,时，,单调递减,

时，,单调递增,

所以,由可得,

所以,在上没有实根.

③当，即时,,在上单调递减,

若在上有实根，则，即，解得.

因为,所以时，在上有实根.

综上可得实数a的取值范围是.