Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A（x，y）（x≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出F，Q，R的坐标，求出|QR|，利用△QRS的面积为4，可求p的值；
（2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用k_AM=-k_AN，确定斜率，从而可得结论．
解答：（1）解：由题设，设，则…（1分）
=．…（2分）
∴由△QRS的面积为4，得：，得：p=2．…（4分）
（2）证明：由题意A₁（-x，y）…（5分）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．
解法一：设抛物线在A₁处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x）+y…（6分）
联立，消去y得x²-2pkx-2pxk-2py=0
将代入上式得：…（7分）
…（8分）
即，即，得．
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率为．…（9分）
解法二：由x²=2py得，…（6分）
∴…（7分）
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁（-x，y）处的切线的斜率为．…（9分）
再求直线MN的斜率．
解法一：设直线AM的斜率为k₁，则由题意直线AN的斜率为-k₁．…（10分）
直线AM的方程为y-y=k₁（x-x），则直线AN的方程为y-y=-k₁（x-x）．
联立，消去y得…（1）…（11分）
∵方程（1）有两个根x，x₁，∴
∴，x+x₁=2pk₁，即x₁=2pk₁-x，同理可得x₂=-2pk₁-x…（12分）
直线MN的斜率=．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．…（14分）
解法二：∵k_AM=-k_AN…（10分）
∴…（11分）
将分别代入上式得：，
整理得2x=x₁+x₂．…（12分）
∴直线MN的
斜率=．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A₁处的切线的斜率．…（14分）
点评：本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力．