Question

【题目】设f（x）= ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）= 的导数为f′（x）=

则在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）= ，

由于在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，

则f′（1）= ，即 = ，

故a=0；

（2）解：由于f（x）= ，

当x=1时，f（1）=0，m（x﹣1）=0不等式f（x）≤m（x﹣1）成立，

当x＞1时，f（x）≤m（x﹣1）即为lnx≤m（x﹣ ）．

设g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，

g′（x）= ﹣m（1 ）=

①若m≤0时，g′（x）＞0，则g（x）在x＞1上递增，即有g（x）＞0，矛盾；

②若m＞0，﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，

当△≤0时，即m≥ ，g′（x）≤0，即g（x）在x＞1上递减，g（x）＜g（1）=0成立，

当△＞0时，即0＜m＜ 时，方程﹣mx2+x﹣m=0的根x1= ＜1，x2= ＞1．

当1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在x＞1上递增，g（x）＞g（1）=0矛盾．

综上，实数m的取值范围是：[ ，+∞）

【解析】（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m（x﹣ ）．设g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，利用导数研究g（x）在（1，+∞）上单调性，求出函数g（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．