Question

8．如图，已知点M在A城的南偏西20°的方向上，现有一辆汽车在点B沿公路向A城行驶，公路的走向是A城的南偏东40°．开始时，汽车到M的距离为31km，汽车前进20km到达点C时，到M的距离缩短了10km，问汽车还要行驶多远才能到达A城？

Answer 1

分析 由题意可知MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，由余弦定理可求得cos∠MCB，进而求得cos∠ACM和sin∠ACM，再由正弦定理进而求得AC．

解答 解：△AMC中，MC=21，MB=31，BC=20，∠MAB=60°，
由余弦定理得：cos∠MCB=$\frac{2{1}^{2}+2{0}^{2}-3{1}^{2}}{2×21×20}$=-$\frac{1}{7}$，
cos∠ACM=-cos∠MCB=$\frac{1}{7}$，∴sin∠ACM=$\sqrt{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
△AMC中，由正弦定理得：AC=$\frac{MC•sin∠AMC}{sin∠MAC}$=$\frac{MC•sin（∠MAC+∠ACM）}{sin∠MAC}$=$\frac{21×（\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=15km．
答：汽车还需行驶15km才能到达A城．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．