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过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线y=的垂线与双曲线左右两支都相交,则双曲线的离心率e的取值范围( )
A.(1,2)
B.(1,
C.(,+∞)
D.(2,+∞)
【答案】分析:设过双曲线的右焦点F与渐近线y=垂直的直线为AF,根据题意得AF的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率,由此建立关于a、b的不等式,解之可得b2>a2,从而可得双曲线的离心率e的取值范围.
解答:解:过双曲线的右焦点F作渐近线y=的垂线,设垂足为A,
∵直线AF与双曲线左右两支都相交,
∴直线AF与渐近线y=-必定有交点B
因此,直线y=-的斜率要小于直线AF的斜率
∵渐近线y=的斜率为
∴直线AF的斜率k=-,可得<-
,b2>a2,可得c2>2a2
两边都除以a2,得e2>2,解得e>
故选:C
点评:本题给出过双曲线焦点与一条渐近线垂直的直线,交双曲线与左右两点各一个交点,求双曲线离心率取值范围.着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
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