Question

14．（1）不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，解不等式ax²-5x+a²-1＞0；
（2）已知关于X的方程（m+3）x²-2mx+m-1=0有一正根，有一负根，且负根的绝对值较大，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值，再解不等式ax²-5x+a²-1＞0；
（2）根据题意，得出x₁x₂＜0，x₁+x₂＜0，且△＞0；由此列出不等式组，求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，
∴方程ax²+5x-2=0是实数根为$\frac{1}{2}$和2，
由根与系数的关系，得-$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$×2，
解得a=-2；
∴不等式ax²-5x+a²-1＞0可化为
2x²+5x-3＜0，
即（2x-1）（x+3）＜0，
解得-3＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴所求不等式的解集为（-3，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵关于x的方程（m+3）x²-2mx+m-1=0有一正根，有一负根，且负根的绝对值较大，
∴x₁x₂＜0，x₁+x₂＜0，且△＞0；
由根与系数的关系得
x₁x₂=$\frac{m-1}{m+3}$，x₁+x₂=$\frac{2m}{m+3}$，
并且△=4m²-4（m+3）（m-1）＞0，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{m+3≠0}\\{\frac{m-1}{m+3}＜0}\\{\frac{2m}{m+3}＜0}\\{{4m}^{2}-4（m+3）（m-1）＞0}\end{array}\right.$，
解得-3＜m＜0；
∴m的取值范围是-3＜m＜0．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．