Question

8．已知α，β都是锐角，tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求tan（α+2β）的值．

Answer 1

分析 由同角三角函数关系式先求出tanβ，再由倍角公式求出tan2β，由此利用正切函数加法定理能求出tan（α+2β）的值．

解答 解：∵α，β都是锐角，tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{3}$，tan2β=$\frac{2tanβ}{1-ta{n}^{2}β}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanαtan2β}$=$\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}×\frac{3}{4}}$=1．

点评 本题考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、倍角公式、正切函数加法定理的合理运用．