Question

设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

p

=（a，2b），

q

=（sinA，1），且

p

∥

q

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，

m

=（cosA，cosB），

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过

p

∥

q

．得到a-2bsinA=0，由正弦定理求出sinB的值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）先求

m

•

n

的表达式sin（A+

π

6

），利用三角形的内角和是180°，B的值，推出A的范围，A+

π

6

的范围，然后确定

m

•

n

取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

=（a，2b），

q

=（sinA，1），且

p

∥

q

，
∴a-2bsinA=0，由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0．（3分）
∵0＜A，B，C＜π，∴sinB=

1

2

，得B=

π

6

或B=

5π

6

．（6分）
（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，
∴B=

π

6

，

m

=（cosA，

3

2

），

n

=（1，sinA-

3

3

cosA），
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=

1

2

cosA+

3

2

sinA=sin（A+

π

6

）．（9分）
由A+C=π-B=

5π

6

及0＜C＜

π

2

，得A=

5π

6

-C∈（

π

3

，

5π

6

）．
结合0＜A＜

π

2

，∴

π

3

＜A＜

π

2

，得

π

2

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）＜1，即

3

2

＜

m

•

n

＜1．（12分）

点评：本题考查向量的数量积，正弦定理的应用，三角形内角和的应用，考查计算能力，是知识交汇题目，有难度但是不大，注意角的范围的确定．