Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象上两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量

.

ON

=λ

.

OA

+（1-λ）

.

OB

，若不等式|MN|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-

1

x

在[1，3]上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[

  1

  12

  ，+∞）
• C、[

  4

  3

  -

  2

  3

  3

  ，+∞）
• D、[

  4

  3

  +

  2

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：利用新定义“k阶线性近似”，向量的线性运算和模的计算公式、基本不等式即可得出．

解答：解：∵函数y=x-

1

x

的定义域为[1，3]．
∴A（1，0），B（3，

8

3

）．
x_M=λ×1+（1-λ）×3=3-2λ，yM=3-2λ-

1

3-2λ

，∴M(3-2λ，3-2λ-

1

3-2λ

)（λ∈[0，1]）．
∴向量

.

ON

=λ

.

OA

+（1-λ）

.

OB

=λ(1，0)+(1-λ)(3，

8

3

)=(3-2λ，

8(1-λ)

3

)．
∴

MN

=

ON

-

OM

=(3-2λ，3-2λ-

1

3-2λ

)-(3-2λ，

8(1-λ)

3

)=(0，

1

3

+

2λ

3

-

1

3-2λ

)．
∴|

MN

|=

( 1 3 + 2λ 3 - 1 3-2λ )2

=|

4

3

-(

3-2λ

3

+

1

3-2λ

)|≤

4

3

-

2 3

3

．当且仅当λ=

3- 3

2

时取等号．
∵不等式|MN|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，∴k≥

4

3

-

2 3

3

．
∴实数的k取值范围为[

4

3

-

2 3

3

，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了新定义“k阶线性近似”，向量的线性运算和模的计算公式、基本不等式，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题．