Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-

1

3

ax³（a＞0），函数g（x）=f（x）+e^x（x-1），函数g（x）的导函数为g′（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若a=e（e为自然对数的底数）
（i）求函数g（x）的单调区间；
（ii）试判断x＞0时，不等式g′（x）≥1+lnx是否恒成立，若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导并令令f′（x）=x-ax²=-ax（x-

1

a

）=0，结合导数的正负判断极值；
（2）g′（x）=x（e^x-ex+1），
（i）记h（x）=e^x-ex+1，由导数可知，h（x）≥h（1）=1＞0，则g′（x）=x（e^x-ex+1）的正负只与x相关，从而确定函数的单调性；
（ii）化g'（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx为e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，令d（x）=1+lnx-x（x＞0），从而求出

1+lnx

x

的取值范围，从而证明．

解答： 解：（1）令f′（x）=x-ax²=-ax（x-

1

a

）=0，
则x=0或x=

1

a

，又a＞0，
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）的极小值为f（0）=0，
f（x）的极大值为f（

1

a

）=

1

6a2

．
（2）∵a=e，
∴g（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1），
g′（x）=x（e^x-ex+1）．
（i）记h（x）=e^x-ex+1，则h′（x）=e^x-e，
当x∈（-∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数；
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
则在（0，+∞）上，g'（x）＞0，在（-∞，0）时，g′（x）＜0，
故函数g（x）的单调递增区间是（0，+∞），减区间是（-∞，0）．
（ii）x＞0时，
g'（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx可化为
e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，
由（i）知，e^x-ex+1≥1，
记d（x）=1+lnx-x（x＞0），
则d'（x）=

1-x

x

，
在区间（0，1）上，d'（x）＞0，d（x）是增函数，
在区间（1，+∞）上，d'（x）＜0，d（x）是减函数，
∴d（x）≤d（1）=0，
即1+lnx-x≤0，
则

1+lnx

x

≤1．
即g′（x）≥1+lnx恒成立．

点评：本题考查了导数的综合应用，注意转化思想的应用，属于难题．