Question

（2011•延庆县一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合，离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合，所以b=1，又因为离心率为e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，再根据
椭圆中a²=b²+c²，就可求出a，b，的值，得到椭圆方程．
（Ⅱ）先假设存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心．设出M，N坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得F，B点坐标，利用若F为△BMN的垂心，则MF⊥BN，就可得到含x₁，x₂，y₁，y₂的等式，再设MN方程为y=x+t，
代入椭圆方程，求x₁+_x2，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，均用含t的式子表示，再代入上面所求等式中，求t，若能求出，则存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心，若求不出，则不存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1

，&(a＞b＞0)

，
∵抛物线x²=4y的焦点坐标为（0，1）∴b=1
由已知得

c

a

=

2

2

，∴

a2-c2=1 a2=2c2

，
解得a=

2

，

&c=1

∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（1，0），B（0，1），，∴k_BF=-1
∵F是垂心，∴K_MN=1
∴设MN的方程为y=x+t，
代入椭圆方程后整理得：3x²+4tx+2t²-2=0
∴x1+x2=-

4t

3

，

&x1x2= 2t2-2 3

将x=y-t代入椭圆方程后整理得：3y²-2ty+t²-2=0
∴y1+y2=

2t

3

，

&y1y2= t2-2 3

∵F是垂心，∴MF⊥BN，MF=(1-x1，-y1)

，&BN=(x2，y2-1)

∴（1-x₁）x₂-y₁（y₂-1）=0，
整理得：x₁+x₂-x₁x₂-y₁y₂+t=0
∴-

4t

3

-

2t2-2

3

-

t2-2

3

+t=0∴3t²+t-4=0
∴t=-

4

3

或t=1（舍）
∴存在直线 l，其方程为y=x-

4

3

使题设成立．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及存在性问题的做法，为圆锥曲线的常规题，应当掌握．